已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足:1 f(x)不恒为0,2 对任意a∈R+(+号是上标),b∈R总有f(ab)(b为上标)=bf(a).
(1)求证:f(x)有且只有一个实根.
(2)若f(2)>0,求证:f(x)在(0,+∞)为单调增函数.

题目上有些写法　不规范　所以　你把题目重新写好　不要为了省事情哦

此题是必修(1)函数零点处的题.a是不等于1的正常数.
(1), 由f(x)是不恒等于0的,所以f(x)<0或f(x)>0.由性质:图象过零点的
充要条件是函数值变号,所以图象与X轴存在交点.
设t=a^b,则对数定义,b=loga(t),由已知,f(t)=loga(t)*f(a)
设t1<t2,f(t1)-f(t2)=[loga(t1)-log(t2)]*f(a)=loga(t1/t2)*f(a)
所以,自变量不等时函数值不等,所以函数只有一个0点.
(2),当a=2>1时,不难证明Y=loga(t)是增函数,由f(2)>0所以,...增.
鞍山陈.

上面的解法是不严密的。
由f(x)是不恒等于0的,所以f(x)<0或f(x)>0.这是得不出来的结果。f(x)是不恒等于0的还可能是恒大于0或恒小于0.
解：（1）因为对任意a∈R+(+号是上标),b∈R总有f(a^b)=bf(a)
所以令a=2,b=0得f(1)=f(a^b)=bf(a)=0.所以1是方程的根。
假设还有不同于1的根x。由指数可知x^b可取到(0,+∞)中的任何数（b为任意实数）。可得f(x^b)=bf(x)=0这与 f(x)在(0,+∞)不恒为0相矛盾。
所以f(x)有且只有一个实根.
（2）同上解