如图1,已知点A,B的坐标分别是(-3,0),(3,0),点C为线段AB上任一点,P,Q分别以AC和BC为直径的两圆O1,O2的外公切线的切点,求线段PQ的中点的轨迹方程.

求解题详细过程

连接O1P,O2Q,PC,QC
则O1P垂直于PQ,O2Q垂直于PQ,O1P//O2Q，则角AO1P+角BO2Q=180度
易知角O1PC=角O1CP,角O2QC=角O2CQ
则角O1CP+角O2CQ=90度,即PC垂直于CQ
又因为M为PQ中点，则PM=MQ=MC
则角PCM=角CPM,则角O1CM=角O1CP+角PCM=角O1PC+角CPM=90度
即MC垂直于AB,即MC也为两圆的切线
则显然O1M,O2M分别为角PO1C,角QO2C的角平分线
则角MO1C+角MO2C=90度，即O1M垂直于O2M
设M点坐标为(x,y),由MC垂直AB可知C为(x,0)(-3<x<3)
则O1为[(x-3)/2,0],O2为[(x+3)/2,0]
由勾股定理得O1M^2+O2M^2=O1O2^2=9
即[x-(x-3)/2]^2+y^2+[x-(x+3)/2]^2+y^2=9
整理得 x^2+4y^2=9 (-3<x<3)
是一个去掉两端点的椭圆
好久没做这类题了，可能解法不够简便
如有错误，恳请指出